Differenzialrechnung: Einstieg

Differenzialrechnung: Einstieg Achtung Kontrolle! Übertragen Sie die Überlegungen aus dem Einstieg nunauf die Situation an den abgebildeten Graphen. Problem: Die mittlere Änderungsrate auf demIntervall \cloze{\small0;3} ist für beide Graphen gleich, nämlich 1. Sie beschreibt den tatsächlichenVerlauf der Graphen also nur ungenau. Idee: Wird die mittlere Änderungsrate auf einem immer klein- eren Intervall bestimmt, wird der tatsächliche Verlauf genauer beschrieben. Also lässt man die Intervallgrenzen enger zusammenrücken. pIhre Überlegungen können               ppSie mit dem folgenden               ppVideo überprüfen:               pppphttps://vimeo.com469664091               p https://vimeo.com469664091 Zur Geschwindigkeitskontrolle werden teilweise so genannte Abschnittskontrollen durchgeführt. Dabei wird an zwei Punkten einer Strecke die Zeit gemessen zu der ein Fahrzeug diesen Punkt passiert. Erklären Sie, wie man mit Hilfe eines solchen Aufbaus Geschwindigkeitsüber-schreitungen nachweisen kann. Wann kann eine Geschwindigkeitsüberschreitung auf diese Weise nicht gemessen werden? Wie könnte die Anlage angepasst werden um Geschwindigkeitsüberschreitungen genauer messen zu können? Einstieg Übertragung In einer Tabelle kann man Werte für noch kleinere Intervalle zusammenstellen: Vermutung: Wenn die Tabelle immer weiter fortgeführt werden würde, rückt der berechnete Differenzenquotient immer näher an \cloze{\small4}.Mathematisch: Für x1 \rightarrow 0 gilt \small\frac{f(x1)-f(0)}{x1-0}\rightarrow\cloze{\small4} x1 x1-0 f(x1) f(x1)-f(0) \small\frac{f(x1)-f(0)}{x1-0} 1 1-0=1 5 5-2=3 3:1=3 0,1 0,1 2,39 0,39 3,9 0,01 0,01 2,399 0,399 3,99 0,001 0,001 2,3999 0,3999 3,999 Häufig will man beschreiben, wie sich eine Funktion \small f an einer bestimmten Stelle \small x0 verändert. Diese momentane Änderung heißt Ableitung \small f'(x0) (sprich „\small f Strich von \small x0“).Um sich der Ableitung zu nähern, kann man den Differenzenquotienten auf immer engeren Intervallen bilden.Bsp.: Gegeben sei die Funktion \small f mit \small f(x)=-x2+4x+2. Gesucht ist die Ableitung der Funktion \small f an der Stelle \small 0, kurz \small f'(0). Wir bilden nun den Differenzenquotienten auf verschiedenen Intervallen \small 0;x1, wobei \small x1 immer näher an \small 0 rücken soll. Merke: Ableitung x1=1\frac{\cloze{\small f(1)-f(0)}}{\cloze{\small1-0}}=\cloze{\small\frac{5-2}{1-0}}=\cloze{\small3} x1=3\large\frac{f(3)-f(0)}{3-0} =\large{\frac{5-2}{3-0}}=1 x1=2\frac{f(\cloze{\small2})-f(0)}{\cloze{\small2}-0} =\frac{\cloze{\small6}-2}{\cloze{\small2}-0}=1

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